Какова площадь треугольника с вписанными окружностью и квадратом?

195
195 points

Квадрат находится внутри окружности, которую касаются только его углы. Окружность же вписана в равносторонний треугольник, касаясь только трех точек на сторонах треугольника.

Чему равна площадь треугольника, если сторона квадрата имеет длину 2 метра?

Нажмите здесь, чтобы узнать правильный ответ!

2 * 33/2 квадратных метров.

Длина стороны квадрата равна 2, поэтому расстояние от центра квадрата до его угла можно найти с помощью теоремы Пифагора:

√(1² + 1²) = √2.

Поскольку угол находится на окружности, эта длина также является радиусом окружности (назовем его r). Следовательно, кратчайшее расстояние от центра круга до сторон треугольника также r = √2.

Известно, что площадь треугольника равна произведению половины основания на высоту. При этом в равностороннем треугольнике все три угла по 60 градусов, а линия от каждого угла до центра круга делит эти углы пополам.

Эта биссектриса образует гипотенузу для другого треугольника, противоположная сторона которого является кратчайшим расстоянием между центром круга и стороной треугольника.

С учетом того, что тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему, в нашем случае tg(30°) = r/x, где x — половина длины стороны треугольника.

Тогда x = r/tg(30°)= r√3, а длина стороны треугольника равна 2r√3.

Ещё раз используя теорему Пифагора, можно вычислить высоту равностороннего треугольника:

√(4 * 3r² — 3r²) = 3r.

Поэтому площадь треугольника равна

1/2 * 2r√3 * 3r = r² * 33/2.

В итоге, учитывая, что r = √2, площадь нашего равностороннего треугольника равна 2 * 33/2 м².


Понравилось? Поделитесь с друзьями!

195
195 points